¿Es necesario hacer una contrato privado antes de la compra-venta?

No es obligatorio, pero sí que es habitual.  El fin es asegurarse de que se va a realizar la operación.

El documento privado es totalmente válido y por supuesto habrá que cumplir con todos los pactos acordados.

Es importante asesorarse a la hora de formalizar este contrato. No firmes nada que no entiendas.